物理的追及相遇问题

1.追及和相遇问题

当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距会越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.

2.追及问题的两类情况

(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)：

①当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有　最小　距离.

②若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时　避免碰撞　的临界条件.

③若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有　一个极大　值.

(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)：

①当两者速度相等时有　最大距离　.

②若两者位移之差等于初始时的距离时，则追上.

3.相遇问题的常见情况

(1)同向运动的两物体追及即相遇.

(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇.

重点难点突破

一、追及和相遇问题的常见情形

1.速度小者追速度大者常见的几种情况：

类型

图象

说明

匀加速追匀速

①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大

②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx

③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小

④能追及且只能相遇一次

注：x0为开始时两物体间的距离

匀速追匀减速

匀加速追匀减速　

2.速度大者追速度小者常见的情形：

类型

图象

说明

匀减速追匀速

开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：

①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件

②若Δx<x0，则不能追及，此时两物体间最小距离为x0－Δx

③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇

注：x0是开始时两物体间的距离

匀速追匀加速

匀减速追匀加速　

二、追及、相遇问题的求解方法

分析追及与相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为：

方法1：利用临界条件求解.寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离.

方法2：利用函数方程求解.利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f(t)，若对任何t，均存在y＝f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f(t)≤0，则这两个物体可能相遇.其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇.

方法3：利用图象求解.若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与t轴包围的面积.

方法4：利用相对运动求解.用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量.在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0，v相对＝

v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定.

三、分析追及、相遇问题的思路和应注意的问题

1.解“追及”、“相遇”问题的思路

(1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图.

(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程.注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中.

(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程.

(4)联立方程求解.

2.分析“追及”、“相遇”问题应注意的几点

(1)分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：

“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等.

“两个关系”是时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口.因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益.

(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上该物体前是否停止运动.

(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件.

典例精析

1.运动中的追及和相遇问题

例1在一条平直的公路上，乙车以10 m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15 m/s，加速度大小为0.5 m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).

解析设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追上乙车时，应有

v甲t－ ＝v乙t＋L

其中t＝ ，解得L＝25 m

若L>25 m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，即两车不相遇.

若L＝25 m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大.

若L<25 m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次.

思维提升对于追及和相遇问题的处理，要通过两质点的速度进行比较分析，找到隐含条件(即速度相同时，两质点间距离最大或最小)，再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应方程求解.

拓展1两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶.t＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆 ( AC )

解析由v-t图象的特点可知，图线与t轴所围成面积的大小，即为物体位移的大小.观察4个图象，只有A、C选项中，a、b所围面积的大小有相等的时刻，故A、C正确.

2.追及、相遇问题的求解

例2在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？

解析解法一：(物理分析法)A、B车的运动过程(如图所示)利用位移公式、速度公式求解.

对A车有sA＝v0t＋ ×(－2a)×t2

vA＝v0＋(－2a)×t

对B车有sB＝ at2，vB＝at

两车有s＝sA－sB

追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB

联立以上各式解得v0＝

故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤

解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知sA＝s＋sB，即v0t＋ ×(－2a)×t2＝s＋ at2

整理得3at2－2v0t＋2s＝0

这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤

解法三：(图象法)利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝v0－2at

对B车有vB＝v＝at

以上两式联立解得t＝

经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知

s＝ v0?t＝ v0?

所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤

思维提升三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答.

拓展2从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔Δt时间后再以初速度v0竖直上抛物体B.要使A、B在空中相遇，Δt应满足什么条件？

解析A、B两物体都做竖直上抛运动，由s＝v0t－ gt2作出它们的s-t图象，如图所示.显然，两图线的交点表示A、B相遇(sA＝sB).

由图象可看出Δt满足关系式 时，A、B在空中相遇.

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3.分析追及、相遇问题的思路

例3现检测汽车A的制动性能：以标准速度20 m/s在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来.若A在平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方180 m处有一货车B以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？

错解设汽车A制动后40 s的位移为x1，货车B在这段时间内的位移为x2.

据a＝ 得车的加速度a＝－0.5 m/s2

又x1＝v0t＋ at2得

x1＝20×40 m＋ ×(－0.5)×402 m＝400 m

x2＝v2t＝6×40 m＝240 m

两车位移差为400 m－240 m＝160 m

因为两车刚开始相距180 m>160 m

所以两车不相撞.

错因这是典型的追及问题.关键是要弄清不相撞的条件.汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据.当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞.而错解中的判据条件错误导致错解.

正解如图，汽车A以v0＝20 m/s的初速度做匀减速直线运动经40 s停下来.据加速度公式可求出a＝－0.5 m/s2.当A车减为与B车同速时，是A车逼近B车距离最多的时刻，这时若能超过B车则相撞，反之则不能相撞.

据v2－ ＝2ax可求出A车减为与B车同速时的位移

x1＝ m＝364 m

此时间t内B车的位移为x2，则t＝ s＝28 s

x2＝v2t＝6×28 m＝168 m

Δx＝364 m－168 m＝196 m>180 m

所以两车相撞.

思维提升分析追及问题应把两物体的位置关系图(如解析中图)画好.通过此图理解物理情景.本题也可以借助图象帮助理解，如图所示，阴影区是A车比B车多通过的最大距离，这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞.小于、等于则不相撞.从图中也可以看出A车速度成为零时，不是A车比B车多走距离最大的时刻，因此不能作为临界条件分析.

例1] 在加油站小朋看到一醒目的标语：“严禁用塑料桶装运汽油”，请你说出这条标语的道理。

解析：塑料的化学性质很稳定，用塑料容器可装酸碱物质，当然汽油也不会损坏塑料筒，因此它可能属于物理原因。汽油在运输过程中与塑料容器摩擦，而使塑料桶带电，汽油易燃容易产生燃烧而爆炸的事故。

答案：在运输过程中，汽油与塑料桶摩擦，汽油和塑料的电性不一样，使塑料桶上带电，而塑料桶是绝缘体，桶上的电荷不能转移，从而桶上的电荷越积越多，达到一定程度就会发生放电现象，放电产生的火花会引燃汽油，造成火灾或伤亡事故。所以加油站用醒目的标语提醒人们不要用塑料桶装运汽油，以免发生意外。

易错分析：摩擦起电是一种常见的物理现象，分析问题时要看物体是否发生摩擦而产生电的现象，切勿被表面的化学现象所迷惑。

[例2] 判断下列电路中各灯的连接情况：

解析：电路的连接方式有串联、并联、混联，如何判断电路的连接在于找出电路有无支路，图1中电流有两条路径，电流经L2后在A点分流，分别经L1，L3于B点会合流回电源负极，所以该电路是L?1与L3并联后，再与L2串联的一个混联电路。其等效电路图是图4。

在图2中，电流由电源正极流出，在A处（实际上也是B点处）分流，分别经L1，L2，L3?于C点，D点处会合流向电源负极，其等效电路图如图5所示。

在图3中，电流的路径可能四条：①“+” “－”，②“+” “－”，③“+” “－”，④“+” “－”，其中第④条C点与“+”相接，B点与“－”相接，电流不会从“－”流到“+”，所以电路中电流只有①②③条，灯L1，L2，L3并联，如图6所示。

答案：图1中L1，L3并联后再与L2串联。

图2中L1，L2，L3并联。

图3中L1，L2，L3并联。

方法提炼：图1如不认真分析，很容易误认为 ， ， 互为并联，而图2、图3又容易看成短路或部分短路，分析题的关键是找出电流可能流过的路径，看清各条路径上有什么元件。

[例3] 如图7所示为旋钮式变阻箱的结构示意图，从图中的情况可知，此时变阻箱A，B两接线柱间的等效电阻为 。（ 上的每个电阻阻值都为 ， 上的每个电阻阻值都是 ， 上的每个电阻阻值都是 ， 上的每个电阻阻值都是 ）

解析：本题看起来很复杂，但从电流路径上分析可看出电流从A流到B只有惟一的一条路径，所以AB间的电阻都是串联连接的，AB间的总电阻等于各个电阻之和，

。

答案： 。

方法提炼：复杂题目可通过分析判断电路的连接情况，简化为最简单的串联，并联电路。

[例4] 如图8所示，若闭合开关后，两只灯泡都不亮，电流表指针也几乎不动，而电压表指针有明显偏转，则该电路故障可能是（ ）

A. 电流表坏了或未接好

B. 从 经过 到 的电路中有断路

C. 灯丝烧断或灯座未接通

D. 电流表和 ， 都坏了

解析：从题可知，两灯都不亮，这说明在两灯泡上没有构成正常的电流通路，又由于两只灯泡是串联的，所以题目所给的四个答案中的任一个，都可能成为灯泡不亮的原因。但考虑到电流表指针几乎不动，而电压表指针明显偏转，则说明从电源经电流表，电压表及 这一电路连接完好，由此可确定A，C，D不正确。

答案：B

方法提炼：用电压表可判断电路中断路故障，如果电路确定是断路，电压表与某一段电路并联时有读数，说明此段电路一定是断路。

[例5] 小实验：火焰开关。用导线把一节干电池，一只工作电压为2.5V的小电珠和一段长约7cm的铅笔芯按图9所示连成电路。调节铅笔芯串入电路中的长度，刚好使小电珠不发光，现在你可划燃一根火柴并加热铅笔芯，待会儿小电珠就能点亮，火柴一旦熄灭，小电珠也会慢慢地熄灭。这里，火焰犹如一只开关，为什么火焰竟然能起这样的作用呢？

解析：原来铅笔芯是石墨做的，石墨能够导电，并且它的电阻会随着温度的升高而减小（正好与金属相反）。当用火焰加热铅笔芯时，铅笔芯电阻减小到电路中有足够大的电流时，小电珠就亮了；反之，铅笔芯温度降低，电阻随之增大，当电路中电流强度充分小时，小电珠就熄灭了。

答案：见解析。

易错分析：电阻的阻值大小与温度有关，有些导体的电阻随温度升高而增大，有些导体的电阻随温度升高而减小，同学们要注意它们的区别。

[例6] 在楼梯中间安装一盏灯，需要在楼梯上、下两处都能能控制它，当上楼梯时，能用下面的开关 开灯，人上楼梯以后，可用上面的开关 关灯，当下楼时，能用 开灯，用 关灯，如图10所示是用两个单刀双掷开关控制一盏灯的电路图，这个电路有什么问题吗？

解析：如图10所示，它仅仅满足了两个开关控制一盏灯的要求，却不符合安全用电的要求。设电源中上方为火线，下方为零钱，当 和 都接“1”，“2”时，这时电灯虽然不亮，但灯头都带电，这种情况在电路安装中是不允许的，这里，只要把这一电路作如图11所示的修改，即满足要求，只要电灯不亮，灯头上就不带电，既能达到两个开关控制一盏灯的目的，又能满足安全用电的要求。

答案：当 ， 都是1和2连接时，电灯不亮但电灯上都与火线连通，不符合安全用电要求。